多様体拡散場

要旨

本論文では、リーマン多様体上で定義された連続関数の生成モデルを学習する手法として、Manifold Diffusion Fields（MDF）を提案します。スペクトル幾何解析の知見を活用し、ラプラス・ベルトラミ作用素の固有関数を用いて多様体上の内在的な座標系を定義します。MDFは、複数の入力-出力ペアからなる明示的なパラメータ化によって関数を表現します。本手法により、多様体上の連続関数をサンプリングすることが可能となり、多様体の剛体変換や等長変換に対して不変性を有します。複数のデータセットと多様体における実験結果から、MDFが従来手法よりも優れた多様性と忠実度で関数の分布を捉えられることが示されました。

English

We present Manifold Diffusion Fields (MDF), an approach to learn generative models of continuous functions defined over Riemannian manifolds. Leveraging insights from spectral geometry analysis, we define an intrinsic coordinate system on the manifold via the eigen-functions of the Laplace-Beltrami Operator. MDF represents functions using an explicit parametrization formed by a set of multiple input-output pairs. Our approach allows to sample continuous functions on manifolds and is invariant with respect to rigid and isometric transformations of the manifold. Empirical results on several datasets and manifolds show that MDF can capture distributions of such functions with better diversity and fidelity than previous approaches.